阿里算法工程师编程小测试-取石子游戏

Alibaba Stone Taking Problem (Dynamic Programming)

作者 Leon Dong 日期 2017-05-27
阿里算法工程师编程小测试-取石子游戏

问题描述

现在有一堆石子,共有N个。两个人轮流取石子,先拿完的人获胜。规定第一次不能拿N个,并且每一次拿的石子数量介于1和上一次拿的数量之间。现在的问题是,如果你作为先手,对于给定的N个石子,在保证能获胜的情况下,你最多能拿多少个?如果先手不能获胜,输出0即可。

问题分析

这个题有意思的地方就在于每次取石子时的数量限制。首先,我们可以肯定,你想赢得话,每次拿的石子数量肯定不能超过$N/2$,如果是这样子的话,下一次对手就可以直接把剩下的石子一次拿完,你就失败了。那么对于给定的石子数量,我最多能拿多少呢?

首先我们先来分析一下子问题。因为这个问题里面设计到的变量有当前剩余的石子数量$n$以及每次最多能拿的石子数量$k$,通过一番思考,我们会想到把子问题定义成如下的形式。

当有$n$个石子并且最多能拿$k$个石子的情况下,我能赢么?
能赢的话,最大拿几个(保证赢的情况下)? 我将该问题记为$A(n,k)$

但是这个是子问题么?事实上,这个问题显然不是子问题,因为它没有考虑先后手的问题。换句话说,一开始的时候,问题可以写为$A(N,N-1)$,当你在这一步拿了$x$个石子后,你接下来要面对的问题不是$A(N-x,x)$,因为现在你已经不是先手了,而是对手先拿,所以问题的属性已经不一样了。

最优的动态规划算法

递推公式

就像在问题分析里面提出的问题一样,如果我们将子问题仅仅定义成$A(n,k)$是不行的。为了将先后手考虑进来,我们在额外定义一个符号$B(n,k)$代表在有n个石子并且我是后手的情况下,能否赢?因此,当你在第一步拿了$x$个石子后,你接下来要面对的问题就是$B(N-x,x)$,如果$B(N-x,x)$为真,那么$A(N,N-1)$就为真,也就是说我能够获得胜利。为了能得到我在第一步能拿的最大石子数量$x$,我们可以将x从$i = N/2$到$1$进行遍历,如果$B(N-x,x)$为真了,那么我可以赢,并且能多能拿的石子数量就是$i$ 。

这里的分析告诉我们如何去计算$A(n,k)$是真还是假。也就是说,
$$
A(n,k) = \sum_{i=1}^{k} {B(n-i,i)} > 0
$$
在上面的公式中,由于我们是先手,只要存在某个$i$,使得$B(n-i,i) =1$ 那么 $A(n,k)$也会为真。值得一提的是,在编程中,我们会将$i$从大到小遍历,如果$B(n-i,i) =1$了,就可以直接将$A(n,k)$设为真并退出。此外,还有三点需要注意一下。第一,当$k$大于$n$的时候,$A(n,k)$一定是真。第二,由于$n-i$可能小于0,在程序中需要做相应的处理。第三,我们不需要记录我能赢的时候,最多能拿多少个石子,这个信息可以通过回溯算法得到。

知道了如何计算$A(n,k)$之后,接下来的问题是如何计算$B(n,k)$了。根据上面的思路,我们可以马上得出$B(n,k)$的计算公式,即
$$
B(n,k) = \sum_{i=1}^{k} {A(n-i,i)} > 0
$$
但如果真的是这样的话,这样做就太复杂了。事实上,$B(n,k) = !A(n,k)$,也就是说,这两者是相反的关系。这个从感觉上是很好理解的,不过这个如何从公式上来理解呢,这个就和初始化有关系了。

动态规划的初始化

对于该动态规划算法来说,他有两个二维表$A_{N \times N}$以及$B_{N \times N}$,计算每一个$B(n,k)$或者$A(n,k)$的时候要用的数据都是前面几行已经算出来的数据。因此我们可以按照行的顺序计算动态规划表格的每一个Cell即可。

因此,为了初始化该动态规划算法,我们只需要初始化二维表$A_{N \times N}$以及$B_{N \times N}$的第一行即可,也就是二维表$A(1,k)$以及$B(1,k)$,其中$k=[1,N-1]$。由于只有一个石子,并且$k \ge 1$,所以所有的$A(1,k)$都有真,所以的$B(1,k)$都为假。

这回导致在之后每一步的计算中$A(n-i,i)$和$B(n-i,i)$的值一定是相反的。所以,$B(n,k) = !A(n,k)$。

算法实现

在下面的算法实现中,我把一维数组当二维数组用了。secondHand[(i-take)*(n+1) + take]就是表示secondHand[i-take,take]对应于公式中的$B(n-i,i)$,具体的代码如下。

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#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <math.h>

using namespace std;

int Find(int n)
{

bool *firstHand = new bool[(n+1)*(n+1)];
bool *secondHand = new bool[(n+1)*(n+1)];
int firstTake = 0;

for (int i = 1 ;i <= n;i++){
firstHand[ 1*(n+1) + i ] = true;
}
for (int i = 1 ;i <= n;i++){
secondHand[ 1*(n+1) + i ] = false;
}

for (int i = 2 ;i <= n;i++){
for (int j = 1 ;j < n;j++){

firstHand[i*(n+1) + j] = false;
for(int take = j; take > 0 ; take --){
if (secondHand[(i-take)*(n+1) + take] || take == i ){
firstHand[i*(n+1) + j] = true;
if (i==n && j==(n-1)){
firstTake = take;
}
break;
}
}
secondHand[i*(n+1) + j] = !firstHand[i*(n+1) + j];

}
}

delete[] firstHand;
delete[] secondHand;
return firstTake;
}

int main()
{
int n = 13;
cin>>n;
cout << Find(n) << endl;
return 0;
}

由于我们最终要获得的是$A(N,N-1)=1$是,我们最多能拿多少石子能保证赢,我在代码的29-31行记录了这个值,并将其返回了。


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